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El secreto de la invención

Daniel Tubau

La ley de los pequeños números

danieltubau@gmail.com

Si alguna persona ha empezado hace dos semanas a leer mis artículos de Divertinajes pensará que siempre escribo acerca de estadísticas. Tras un primer artículo (Estadísticas de un solo caso) hace quince y uno más siete días después (Cómo saber todo sin saber nada), ahora, con este tercer artículo, ese lector verá su hipótesis confirmada: tres de tres. La conclusión inevitable será: “El 100 por cien de los artículos de este tipo son acerca de estadísticas”.

El anterior es un ejemplo de la ley de los pequeños números.

Ahora bien, si ese mismo lector consultara el Archivo Histórico de mis artículos, descubriría que he publicado más de cien y que de ellos tan sólo los tres últimos tratan de estadística, por lo que, en vez de un cien por cien, tan sólo un 3 por ciento de mis artículos se han ocupado del tema estadístico. Esa es la ley de los grandes números.


Kahneman y Tversky

La ley de los pequeños números es una especie de parodia que hicieron Amos Tversky  y Daniel Kahneman de la conocida ley de los grandes números, una ley matemática bastante fiable, más fiable mientras mayores sean esos números, es decir mientras más casos sean observados. La ley de los grandes números dice que en un dado equilibrado hay 1/6 parte de posibilidades de que aparezca un 3 cada seis tiradas. Sin embargo, si hacemos una prueba empírica y lanzamos el dado seis veces, hay bastantes posibilidades de que el 3 no salga, o de que salga dos veces o incluso tres. Pero si seguimos lanzando el dado y efectuamos 60, 600 o 6000 tiradas, poco a poco los números arrojarán un resultado en el que cada una de las cifras del dado habrá salido una de cada seis veces. Esa es la ley de los grandes números.


En la tabla anterior, el lector puede ver el resultado de caras al lanzar una moneda. Como se ve, si se aumenta el número de lanzamientos, inevitablemente cada vez se equilibran más caras y cruces. Si se lanzara un millón de veces, podemos estar seguros de que el resultado sería un 50% de caras y un 50% de cruces, a no ser que la moneda esté muy desequilibrada.


La ley de los pequeños números, mucho menos de fiar que su hermana mayor, nos dice que cuando la muestra observada es muy pequeña es posible obtener conclusiones apresuradas e injustificadas. Esta ley es una de las favoritas de las compañías farmacéuticas, tanto de las convencionales como de las homeopáticas o alternativas, porque les permite presumir de asombrosos resultados aparentemente refrendados por la ciencia y la observación cuidadosa. Kahneman recuerda un estudio realizado en 3.141 condados de Estados Unidos que reveló que la incidencia del cáncer renal más baja se da en las poblaciones rurales, con escasa densidad de habitantes y tradicionalmente votantes republicanas. Los estadísticos Wainer y Zwerling dijeron ante estos datos: “Es fácil y tentador inferir que las bajas tasas de cáncer se deben simplemente a la vida sana propia de la vida rural, sin polución atmosférica, sin contaminación de las aguas y con acceso a alimentos frescos y sin aditivos”. Sin embargo, al examinar los condados en los que la incidencia del cáncer renal es más alta, el resultado fue…. que también se daba en poblaciones rurales, con escasa densidad de habitantes y tradicionalmente votantes republicanas. Wainer y Zwerling concluyeron con humor: “Es fácil inferir que las altas tasas de cáncer pueden deberse simplemente a la pobreza propia de la vida rural, sin acceso a una buena asistencia médica, con una dieta rica en grasas y un exceso de alcohol y tabaco”. Esto, por cierto, aunque aquí sea una muestra de humor, es un ejemplo de algo que se hace a diario: “Todo se puede explicar si hay que explicarlo”.


Como es obvio, el hecho de que un pequeño pueblo destacase en un extremo de la estadística (menos incidencia del cáncer) y otro pequeño pueblo lo hiciera en el otro (más incidencia del cáncer) se debía a que cuando las muestras son pequeñas, es fácil encontrar cualquier resultado, y más si el espectro estudiado es amplio, es decir si hay muchos pequeños pueblos a observar. En algún pequeño pueblo se dará la casualidad (explicable o no por las circunstancias) de que haya siete excelentes alumnos de un total de veinte, mientras que en  otro pueblo habrá siete alumnos detestables también de un total de veinte. La conclusión, que siempre deberíamos tener presente, es que busquemos lo que busquemos, lo encontraremos si tenemos paciencia suficiente y examinamos muestras pequeñas.


Recuerdo que descubrí la ley de los pequeños números, o mejor dicho su poca fiabilidad, a edad muy temprana, quizá a los ocho o diez años, mucho antes, por supuesto, de leer a Kahneman y otros autores. Sucedió durante los viajes en coche con mi hermana, Natalia, y mi padre, Iván, entre Madrid y Barcelona.  Como el viaje era largo, me gustaba entretenerme haciendo estadísticas relacionadas con los conductores. Recuerdo que contaba los conductores con barba y los que no llevaban barba, o los que llevaban barba, los que llevaban bigote o los que iban perfectamente afeitados. Al principio, cuando se trataba todavía de pequeñas muestras, obtenía resultados asombrosos, como que siete de cada diez llevaban barba o bigote, pero a medida que la muestra se iba ampliando (y se ampliaba muchísimo a lo largo de seiscientos kilómetros en aquél Dos Caballos de la época), poco a poco se alcanzaba una proporción, digamos un 40 por ciento de conductores con barba, un 10 por ciento de conductores sólo con bigote y un 50 por ciento de conductores afeitados. Esa proporción empezaba a mantenerse estable tras muchas observaciones, a pesar de que de vez en cuando aparecieran tres conductores bigotudos seguidos o cuatro con barba.


En rigor, lo que descubrí en mis observaciones de infancia fue la ley de los grandes números, pues me di cuenta de que al cabo de muchas observaciones los porcentajes no variaban. Por inversión, claro, descubrí la ley de los pequeños números, pues recuerdo claramente que ya no me fiaba de los asombrosos resultados que de vez en cuando obtenía a partir de pequeñas muestras. En ocasiones jugaba a romper la estadística, empezando a contar cuando se repetía un suceso raro, por ejemplo dos conductores con barba y gafas de sol; pero al cabo de suficientes observaciones, el suceso raro iba quedando sumergido y su proporción disminuía, hasta alcanzar una pequeña proporción. Algo parecido a lo que le sucedería a ese lector que he mencionado al principio, que tal vez pensaba que siempre escribo de estadística tras ver un cien por cien de mis artículos dedicados a este asunto, es decir los últimos tres publicados. Ahora bien, si ese lector, en vez de consultar mis otros 97 artículos lo que hace es leer el de la próxima semana, verá que su hipótesis queda otra vez confirmada por la observación, porque en mi próximo artículo también hablaré de algo relacionado con la estadística.

Visita la web del autor:
www.danieltubau.com




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